Utiliser l'écriture "racine carrée"

Les mathématiciens grecs ne connaissaient que les nombres rationnels (c'est-à-dire les quotients de nombres entiers) et ils avaient démontré qu'un carré de côté 1 a une diagonale qui n'est pas un nombre rationnel ! Cela les plongea dans une grande perplexité. On sait

aujourd'hui qu'un carré de côté 1 a une diagonale dont la longueur exacte est . Le symbole , appelé radical, permet d'écrire certains nombres (les racines carrées) sous forme exacte et de

calculer avec ces nombres. La notation actuelle, , date de la fin du xve siècle ; elle est due à l'Allemand Michel Stifel.

1. Définition

Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est appelé racine carrée de a, et noté .

Exemples :

, car 32 = 9 et 3 est positif

, car 1,62 = 2,56 et 1,6 est positif.

Autrement dit, si a est positif, est l'unique nombre positif tel que .

Ainsi, .

2. Exemples d'application

2.1. Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

Soit RMP un triangle rectangle en R tel que MR = 3 m et RP = 2 m. On veut calculer la valeur exacte de la longueur MP.

Le triangle RMP est rectangle en R, donc d'après la propriété de Pythagore :

MP2 = MR2 + RP2, soit MP2 = 32 + 22, d'où MP2 = 13.

MP désigne une longueur, c'est donc un nombre positif. On en déduit que la valeur exacte de MP est  m.

2.2. Construire un segment de longueur √n (n étant un entier naturel donné)

On veut construire par exemple un segment de longueur  cm.

On construit d'abord un triangle ABC rectangle en B et isocèle, tel que AB = BC = 1 cm.

L'application de la propriété de Pythagore dans ce triangle donne immédiatement  cm.

On construit ensuite un triangle ACD rectangle en C tel que CD = 1 cm.

D'après la propriété de Pythagore : AD2 = AC2 + CD2, soit , d'où AD2 = 3.

AD désigne un nombre positif, donc  cm.

Remarque : en réitérant ce procédé, on peut construire un segment de longueur , où n est un entier naturel quelconque.

2.3. Utiliser les racines carrées en trigonométrie

Les racines carrées permettent d'exprimer les valeurs exactes du sinus, du cosinus ou de la tangente de certains angles particuliers.

Exemple :

2.4. Calculer la distance entre deux points du plan

Rappelons que si (O, I, J) est un repère orthonormé du plan et que A(x, y) et B(x', y') sont deux

points du plan, la distance AB est donnée par la formule : .

Exemple : on veut connaître la distance EF avec E (1, –2) et F (3, 4) dans un repère orthonormal (O, I, J) du plan, l'unité étant le centimètre. On cherche la valeur exacte.

, soit , donc .

La valeur exacte de EF est donc  cm.

2.5. Résoudre une équation

On veut résoudre l'équation x² = 7. On peut montrer qu'elle admet deux solutions : et .

2.6. Factoriser une expression

Pour factoriser l'expression x² – 5, on utilise la définition de la racine carrée qui permet

d'écrire : .

En utilisant l'identité a² – b² = (a – b)(a + b), on obtient donc .