Résoudre une équation-produit

Une équation-produit est une équation dont le premier membre est mis sous la forme d'un produit de facteurs et dont le second membre est égal à zéro. La forme particulière de ces équations permet de les résoudre facilement. Seules les équations à une inconnue sont étudiées ici.

1. Définition

Une équation à une inconnue x est appelée équation-produit si elle est de la forme A × B = 0, où A et B sont des facteurs du premier degré en x, c'est-à-dire de la forme ax + b (a et b étant des nombres donnés).

Exemple : l'équation (2x + 3)(–5x + 6) = 0 est une équation-produit.

Remarque : on peut généraliser cette définition en considérant que le premier membre de l'équation a un nombre quelconque de facteurs. Il existe donc des équations-produits du type : A × B × C = 0 ou A × B ×  C × D = 0, etc.

On se limite ici à deux facteurs pour simplifier l'étude de ces équations.

2. Résolution

La résolution des équations-produits utilise les propriétés suivantes :

si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins de ces facteurs est nul ;

si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul.

On déduit de ces propriétés que si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0, et réciproquement, si A = 0 ou B = 0, alors A × B = 0.

En résumé, nous dirons que A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. La résolution de l'équation produit A ×B = 0 équivaut donc à la résolution de deux équations du premier degré en x : A = 0 ou B = 0.

3. Exemples numériques

Exemple 1 : résoudre l'équation (5x + 1)(2x – 4) = 0.

L'équation (5x + 1)(2x – 4) = 0 équivaut successivement à :

5x + 1 = 0 ou 2x – 4 = 0

5x = –1 ou 2x = 4

ou x = 2

L'équation a donc deux solutions : et 2.

Remarque : alors qu'une équation à une inconnue du premier degré n'a qu'une solution, on a ici un exemple d'une équation admettant deux solutions.

Exemple 2 : résoudre l'équation (3x – 2)² = 0.

L'équation (3x – 2)² = 0 équivaut à :

3x – 2 = 0 (les deux facteurs A et B sont ici identiques)

3x = 2

L'équation a donc une solution : .

4. Exemple géométrique

La figure 1 représente un carré CEFH de côté x. On suppose que x est un nombre supérieur ou égal à 5. Les quadrilatères ABCD, GFED et GHBA sont des rectangles. On donne BC = 5 et DE = 3, l'unité du problème étant le centimètre. Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du rectangle GHBA est-elle nulle ?

On a : HB = x – 5 et AB = x + 3.

L'aire du rectangle GHBA est donc : (x – 5)(x + 3). Dire que cette aire est nulle équivaut à dire que (x – 5) (x + 3) = 0 : Il s'agit là d'une équation-produit.

L'équation (x – 5)(x + 3) = 0 équivaut successivement à :

X – 5 = 0 ou x + 3 = 0

x = 5 ou x = –3.

Cette équation a donc deux solutions : 5 et –3. Or x désigne une longueur, c'est donc un nombre positif, et par conséquent, la seule solution à notre problème est 5.

Conclusion : l'aire du rectangle GHBA est nulle pour x = 5, et seulement pour cette valeur de x.