Résolution graphique d'équations et d'inéquations

« À partir de quel seuil, une production est-elle rentable ? »

« Si l'on connaît les valeurs d'une grandeur à deux instants donnés, comment déterminer une valeur à un instant intermédiaire ? »

Ces questions peuvent être traduites sous la forme d'équations ou d'inéquations que l'on peut résoudre graphiquement.

1. Comment résoudre graphiquement une équation du type f(x) = k ?

Les solutions de cette équation sont les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnée k. Pour les trouver, il suffit de tracer la droite d'équation y = k qui est parallèle à l'axe des abscisses. Ensuite, on lit les valeurs approchées des abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe représentative de f. Ces valeurs approchées sont lues avec la précision permise par le graphique.

Il se peut qu'il n'y ait aucun point d'intersection entre la droite et la courbe. Dans ce cas, on dira que l'équation n'a pas de solution.

2. Comment résoudre graphiquement une équation du type f(x) = g(x) ?

Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et de g. Il suffit donc de repérer ces points d'intersection et de lire une valeur approchée de leurs abscisses avec la précision permise par le graphique.

Il se peut qu'il n'y ait aucun point d'intersection entre les deux courbes. Dans ce cas, on dira que l'équation n'a pas de solution.

3. Comment résoudre graphiquement une inéquation du type f(x)  g(x) ?

Les solutions de cette inéquation sont constituées des abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et g et des abscisses des points de la courbe de f qui sont situés au-dessus de la courbe de g. On colorie donc les points de la courbe de f situés sur ou au-dessus de la courbe représentative de g et on lit en abscisse les solutions. Ces solutions sont représentées sous la forme d'un intervalle ou de la réunion de plusieurs intervalles.

Les inéquations : f(x)  g(x), f(x) > g(x) et f(x) < g(x) sont résolues de manière analogue.

Par exemple, sur le graphique ci-dessous, les solutions de l'inéquation sont données par l'intervalle [-0,7 ; 1,4].

4. Qu'est-ce qu'une approximation linéaire ?

Lorsque l'on connaît les valeurs d'une grandeur à deux instants, on peut avoir, par interpolation linéaire, une idée de la valeur de cette grandeur à un instant intermédiaire. Cette valeur est appelée approximation linéaire.

Exemple

Cet exemple est fondé sur la figure ci-dessus. On cherche une valeur approchée de la grandeur étudiée pour l'année 1998. On admet que les accroissements sont proportionnels, donc que les points sont reliés par un segment. On calcule la pente de ce segment que l'on appelle également accroissement moyen.

L'accroissement moyen est le rapport entre l'accroissement  y de la grandeur y et l'accroissement  x de la variable x.

La valeur cherchée est donnée par la formule :

valeur en 1998 = valeur initiale +   (1998 -année initiale).

Dans notre exemple, l'année initiale 1995 correspond à la valeur initiale 80. Si l'on applique cette formule, la valeur obtenue pour 1998 est 116. Cette valeur n'est qu'une approximation linéaire de la valeur exacte.

À retenir absolument

Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f avec la droite d'équation .

Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et de g.

Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus de la courbe représentative de g.