Représenter graphiquement une fonction affine

On sait que la représentation graphique d'une fonction linéaire (fonction affine particulière) est une droite passant par l'origine du repère. Qu'en est-il de la représentation graphique d'une fonction affine ?

1. Étude d'un exemple

Représentons graphiquement la fonction affine x   3x + 1.

Soit (O, I, J) un repère du plan ; on choisit une valeur de x que l'on porte en abscisse et on porte en ordonnée l'image correspondant à cette valeur. On obtient ainsi un point.

Par exemple, si x = 1, on a 1   4 ; on obtient le point de coordonnées (1 ; 4).

Il est commode d'utiliser un tableau comme celui qui est présenté ci-dessous, pour lequel on a choisi arbitrairement quelques valeurs de x.

En plaçant ces points, on obtient le graphique de la figure 1.

On constate que les points A, B, C et D sont alignés.

Nous admettrons que tous les autres points que l'on aurait pu placer seraient aussi alignés sur cette même droite : on dit que cette droite est la représentation graphique de la fonction affine x   3x + 1.

2. Propriété et définitions

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

On dit que la représentation graphique de la fonction affine x   ax + b est la droite d'équation y = ax + b ; a est appelé le coefficient directeur de la droite et b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite.

L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point où la droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des ordonnées. En effet, pour x = 0, on obtient y = a × 0 + b, soit y = b ; cela correspond au point de coordonnées (0 ; b) sur le graphique, comme le montre la figure 2.

Exemple : la représentation graphique de la fonction affine x   3x + 1 est la droite d'équation y = 3x + 1. Cette droite a pour coefficient directeur 3 et pour ordonnée à l'origine 1.

Remarque : dans le cas particulier où b = 0, la fonction affine

x   ax + b est la fonction linéaire x   ax ; on retrouve ainsi la propriété selon laquelle la représentation graphique de la fonction linéaire x   ax est une droite de coefficient directeur a passant par l'origine du repère (l'ordonnée à l'origine est égale à 0).

3. Méthode de construction

Sachant que toute fonction affine est représentée graphiquement par une droite, il suffit de déterminer deux points de cette droite pour pouvoir la tracer.

Puisqu'on sait que la droite d'équation y = ax + b passe par le point de coordonnées (0 ; b), on peut se contenter de déterminer un seul autre point.

4. Interprétation graphique du coefficient directeur

Propriété : soit f la fonction affine x   ax + b. Pour tous nombres y et z (y   z), on a :

.

Nous allons interpréter graphiquement cette propriété à l'aide de l'exemple suivant.

Considérons la fonction affine x   2x - 1.

Dressons un tableau donnant les images de quelques nombres par f et les noms des points correspondants sur la droite qui représente f graphiquement :

Choisissons deux valeurs y et z de x, par exemple y = –2 et z = 0, et calculons le rapport

.

On a .

Graphiquement, 0 – (–2) correspond à l'accroissement de l'abscisse quand on passe du point A au point B,

et f(0) – f(–2) correspond à l'accroissement de l'ordonnée quand on passe du point A au point B.

Choisissons maintenant y = 1 et z = 4 ; on a alors .

On a vérifié que ce rapport est égal à 2, qui est le coefficient directeur de la droite d'équation y = 2x – 1, représentation graphique de f.

On peut visualiser cette propriété du coefficient directeur sur la figure 3.