Réduire une expression littérale

Écrire la somme algébrique A = 5x – (3 + x) sous la forme A = 4x – 3, cela s'appelle réduire l'expression A. Quels sont les procédés utilisés ?

1. Règles de calcul

1.1. Factoriser une somme algébrique

Propriété : pour factoriser une somme algébrique, on utilise la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction.

Cette propriété peut s'énoncer ainsi : a, b et k étant trois nombres,

ka + kb = k (a + b)
ka –kb = k (a – b)

Exemple : x représente un nombre. On veut factoriser l'expression B.

B = 13,3x – 4,28x.

On remarque le facteur commun x : B = 13,3x – 4,28x = (13,3 – 4,28) x = 9,02x

Cette dernière expression est une expression réduite de B.

1.2. Supprimer des parenthèses dans une somme algébrique

Règle : soit a, b, c et d quatre nombres,

a + (b – c + d) = a + b – c + d
a – (b – c + d) = a – b + c – d

Autrement dit :

si les parenthèses sont précédées du signe +, on « conserve » les signes des termes de l'expression entre parenthèses ;

si les parenthèses sont précédées du signe –, on « change » les signes des termes de l'expression entre parenthèses.

2. Exemples de réduction

Dans les exemples suivants, x représente un nombre.

2.1. Exemple 1

A = 3x – (2 + 7x)

On supprime d'abord les parenthèses et on regroupe les termes en x : A = 3x – 2 – 7x = 3x – 7x – 2

On factorise x dans 3x – 7x : A = (3 – 7) x – 2 = –4x – 2

Finalement, une forme réduite de A est : –4x – 2.

2.2. Exemple 2

B = x² – (3 –x + 5x²)

On supprime d'abord les parenthèses : B = x² – 3 + x – 5x²

On regroupe les termes semblables (ceux en x²) : B = x² – 5x² + x – 3

On factorise x² dans x² – 5x², que l'on peut écrire aussi 1x² – 5x² :

B = (1 – 5) x² + x – 3

Finalement, une forme réduite de B est : –4x² + x – 3.

2.3. Exemple 3

C = x (3 – 2x) + 5 (x – 2)

On commence par développer : C = 3x – 2xx + 5x – 5 × 2

On remplace xx par x² et 5 × 2 par 10 (selon les règles de priorité), puis on regroupe les termes semblables (ceux en x) : C = 3x + 5x – 2x² – 10

On factorise x dans 3x + 5x : C = (3 + 5) x – 2x² – 10 C = 8x – 2x² – 10

Finalement, la forme réduite et ordonnée de C est donc : –2x² + 8x – 10.

2.4. Exemple 4

On développe cette expression :

On supprime les parenthèses :

On effectue les multiplications après avoir simplifié par 2 :

On regroupe les termes semblables (ceux en x) :

On factorise x dans  :

On calcule les sommes à l'intérieur des parenthèses, après avoir réduit au même dénominateur :

Finalement, une forme réduite de D est : .