Réduire au même dénominateur

Pour offrir un bracelet à leur mère, Jacques donne à son père les du prix du cadeau et Sophie

donne les . De Jacques et de Sophie, qui a donné le plus ?

À l'aide d'une calculatrice, on voit que :    0,086 et    0,089. C'est donc Sophie qui a donné le plus.

Existe-t-il une autre méthode pour résoudre ce type de problème ?

1. La méthode

1.1. Établir l'égalité de deux écritures fractionnaires

Règle : on ne change pas la valeur d'un quotient si on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de zéro.

Autrement dit, avec des lettres (a ; c et k représentant des nombres ; c   0 et k   0) :

Exemples : et notamment :

1.2. Réduire au même dénominateur

Exemple 1 : on veut écrire au même dénominateur les fractions et .

On remarque que 30 est un multiple de 5 (30 = 5 × 6). D'où

et représentent les mêmes nombres que et .

On dit qu'on a réduit ces deux écritures fractionnaires au même dénominateur.

Exemple 2 : on réduit maintenant au même dénominateur et . Ce n'est pas aussi simple que dans le cas précédent. Les multiples vont faire la course. Dans le tableau qui suit, on écrit dans la ligne du haut les premiers multiples de 12 et dans la ligne du bas les premiers multiples de 20 jusqu'à ce qu'on ait le même nombre, ici : 60.

60 est à la fois un multiple de 12 (60 = 5 × 12) et de 20 (60 =20 × 3). On choisit donc ce

nombre 60 pour réduire et au même dénominateur.

et

On a réduit et au même dénominateur.

Remarque : 60 est le plus petit multiple commun non nul de 12 et de 20. On écrit ppcm (12 ; 20) = 60.

Exemple 3 : réduction au même dénominateur de , et .

On va utiliser la même méthode mais cette fois avec trois lignes dans le tableau.

En raisonnant comme dans l'exemple précédent, on choisit 42 comme dénominateur commun. On trouve alors :

 ;  ;

On a réduit , et au même dénominateur.

Remarque : 42 est le plus petit multiple commun non nul de 14, 21 et 6. Au lieu de faire la course aux multiples, on peut décomposer 14, 21 et 6.

14 = 2 × 7 ; 21 = 3 × 7 et 6 = 2 × 3.

42, qui est égal à 2 × 7 × 3 est un multiple non nul commun à 14, 21 et 6.

2. Applications

2.1. Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire

Règle : pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire, on peut les réduire au même dénominateur positif puis comparer les nouveaux numérateurs. Les deux nombres sont rangés dans le même ordre (que les nouveaux numérateurs).

Exemple 1 : on veut comparer et .

Une méthode consiste à réduire au même dénominateur. On peut remarquer que 105 = 21 × 5

et 105 = 35 × 3. On a donc : et .

et ont le même dénominateur positif ; comparons les numérateurs : 50 > 48 donc :  >

  .

Finalement,  >  .

Exemple 2 : comparaison de et .

On commence par rendre positif le dénominateur du deuxième nombre :  =  .

Puis on réduit au même dénominateur. On trouve : 70 = 10 × 7 et 70 = 7 × 10.

D'où et .

–49 > –50 donc  >  et finalement :  >  .

2.2. Calcul d'une somme de nombres en écriture fractionnaire

On veut calculer .

60 est un multiple commun à 15, 6 et 20 donc

peut se simplifier par 3 : .

Finalement : .