Ordre des nombres et valeur absolue

Les règles sur les inégalités, déjà en partie abordées au collège, sont reprises et complétées ici. Leur maîtrise est essentielle car les inégalités sont un des principaux outils de l’analyse, branche des mathématiques consacrée à l’étude des fonctions.

1. Comment utiliser les intervalles ?

Soient a et b deux réels tels que .

L’intervalle fermé est l’ensemble des réels x tels que .

L’intervalle ouvert est l’ensemble des réels x tels que a < x < b.

L’intervalle ouvert est l’ensemble des réels x tels que x < a.

L’intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) est l’ensemble des réels x tels que .

On définit de même les intervalles , , , .

L’ensemble lui-même peut être noté : .

L’intersection de deux intervalles I et J est l’intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.

La réunion de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles).

Si I et J ont un point en commun, alors est un intervalle.

Exemple

Si et , alors : et .

2. Comment comparer deux nombres ?

Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b - a est positive ou nulle. On écrit que est équivalent à .

Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.

Pour comparer :

• deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;

• deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;

• deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.

Quelques règles fondamentales à connaître.

Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.

Si a > 1, alors : .

Si 0 < a < 1, alors : .

Pour tous réels a, b et c, si et , alors .

3. Comment calculer avec les inégalités ?

Il s’agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l’aide des opérations élémentaires.

Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.

Ajouter ou soustraire un nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre. Si , alors .

Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve l’ordre. Si et k > 0, alors .

Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change l’ordre. Si et k < 0, alors .

Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si et , alors .

Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une inégalité de même sens. Si et , alors .

4. Comment calculer la valeur absolue d’un nombre réel ?

Soit x un nombre réel. Ce nombre peut être vu comme l’abscisse d’un point M de la droite des réels (droite graduée).

Par définition, la valeur absolue de x est la distance OM ; on écrit .

Conséquences :

Si x est un nombre positif, sa valeur absolue est lui-même : .

Si x est un nombre négatif, sa valeur absolue est son opposé : .

On a les propriétés suivantes, où x et y désignent des réels quelconques.

Pour tout réel , est un nombre positif. signifie .

.

signifie ou .

et, pour tout , .

(inégalité triangulaire).

5. Comment calculer avec des valeurs absolues ?

Soient a et b deux réels, ils sont les abscisses de deux points A et B de la droite graduée. La distance entre a et b est la distance AB. Ce qui se traduit par .

On écrira : .

Écrire ou représenter les valeurs absolues en termes de distances aide à résoudre les équations et inéquations comprenant des valeurs absolues.

Par exemple, si a désigne un réel quelconque et r un réel positif.

L’égalité peut se traduire :

— en termes de distances, par  ;

— par le schéma :

— avec nos règles de calcul, par : ou .

L’inégalité peut se traduire :

— en termes de distances, par  ;

— par le schéma :

— avec nos règles de calcul, par : , qui s’écrit aussi : .

À retenir absolument

Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.

La valeur absolue d’un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé.

La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s’écrit .