Multiplier deux nombres en écriture fractionnaire

On coupe une tarte en quatre parts égales, puis on partage en deux chacune de ces parts.

Quelle fraction de la tarte représente chacune des petites parts et comment cet exemple permet-il d'illustrer la multiplication de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ?

1. Exemple de départ

On coupe une tarte en quatre parts égales.

Fraction de tarte coloriée : .

Puis on partage en deux chacune de ces parts.

Fraction de tarte coloriée : la moitié de donc .

Quelle fraction de la tarte représente chacune des petites parts ?

Réponse : . On en déduit que .

2. Règles de calcul

2.1. Règle générale

Pour multiplier deux nombres écrits sous forme fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

, avec b   0 et d   0.

Exemples  :

 ;

.

2.2. Cas particulier

Si l'un des facteurs n'est pas écrit sous forme fractionnaire, on applique la règle suivante :

, avec d   0. (On peut retrouver cette règle en pensant que et en appliquant la règle ci-dessus.)

Exemple : .

2.3. Généralisation

La règle du paragraphe 2.1. se généralise à un produit de plus de deux facteurs.

Exemple : .

2.4. Simplification

Avant d'effectuer les produits des numérateurs et des dénominateurs, il peut être avantageux de simplifier.

Exemples :

(on a simplifié par 27) ;

(on a simplifié par 7, 5, 2 et 13).

3. Exemple d'application

Dans une classe de 30 élèves, les trois-cinquièmes des élèves sont des filles, et les cinq-sixièmes des filles étudient l'anglais. Quelle proportion des élèves de la classe représentent les filles qui étudient l'anglais ?

1re méthode :

 ; il y a 18 filles dans la classe.

 ; il y a 15 filles qui étudient l'anglais.

 ; les filles qui étudient l'anglais représentent donc la moitié de la classe.

2e méthode :

 ; les filles qui étudient l'anglais représentent la moitié de la classe.

Cette deuxième méthode est plus rapide que la première ; de plus, elle peut être utilisée même si on ne connaît pas l'effectif de la classe.