Multiplier des nombres relatifs

On sait déjà multiplier des nombres positifs. Mais que se passe-t-il avec des nombres négatifs ?

1. Multiplier deux nombres relatifs

1.1. Règles générales

Le produit de deux nombres relatifs est un nombre relatif tel que :

la valeur absolue du résultat est le produit des valeurs absolues des deux nombres ;

si les deux nombres ont le même signe, alors leur produit est positif ;

si les deux nombres ont des signes différents, alors leur produit est négatif ;

si un des deux nombres est nul, alors leur produit est nul.

Exemples :

(–7) × (–3) = 21

–3,2 × 6,5 = –20,8

, car les deux nombres sont négatifs.

1.2. Avec la calculatrice

Notons d'abord qu'il y a sur le clavier deux touches qu'il ne faut pas confondre :

la touche  ,qui sert pour la soustraction ;

la touche (ou  ), qui permet d'entrer les nombres négatifs ou de transformer un nombre en son opposé.

Exemples :

si on tape la séquence : 7   4   , il s'affiche 3 à l'écran ;

si on tape la séquence : 5   , il s'affiche –5 ;

si on tape la séquence : 7     , il s'affiche successivement –7 et 7 ;

si on tape la séquence : 5   3     , il s'affiche –15 ;

si on tape la séquence : 5     3     , il s'affiche 15.

Les résultats affichés par la calculatrice vérifient bien les règles énoncées dans le paragraphe précédent.

2. Multiplier plusieurs nombres relatifs

2.1. Propriété de la multiplication des nombres relatifs

On remarque que :

(–4) × (–2,7) = 10,8 et (–2,7) × (–4) = 10,8

((–3) × 5) × (–2) = (–15) × (–2) = 30 et (–3) × (5 × (–2)) = (–3) × (–10) = 30

Dans une suite de multiplications de nombres relatifs, on peut regrouper les facteurs comme on veut.

Exemple : calculer A = (–1,25) × 6,28 × 8.

A = (–1,25) × 6,28 × 8 = (–1,25) × 8 × 6,28 = (–10) × 6,28 = –62,8

Ceci est plus commode que de calculer d'abord (–1,25) × 6,28 !

2.2. Signe d'un produit de plusieurs facteurs

Le signe d'un produit de plusieurs facteurs ne dépend que du nombre de facteurs négatifs :

si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ;

si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

Exemples :

(–3) × (–5) × 7 × (–2) est négatif, car il y a 3 facteurs négatifs et 3 est impair.

(–1) × (–2) × (–3) × (–4) × (–5) × (–6) × 7 est positif, car il y a 6 facteurs négatifs et 6 est pair.

(–1)2 001 = –1, car il y a 2 001 facteurs négatifs, tous égaux à –1, et 2 001 est impair.

(–1)2 000 = 1, car il y a 2 000 facteurs négatifs, tous égaux à –1, et 2 000 est pair.

3. Multiplier des nombres relatifs en écriture fractionnaire

3.1. Signe d'un quotient

Le quotient de deux nombres non nuls de même signe est positif.

Le quotient de deux nombres non nuls de signes différents est négatif.

Exemples :

et sont positifs. En général, on remplace par .

et sont négatifs.

Remarque : on a :

3.2. Multiplication de quotients

Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on applique la règle ci-dessus puis on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux ; on n'oublie pas de simplifier, si c'est possible, avant d'effectuer les calculs.

Exemple :