Mettre un problème en équation (3e)

En mathématiques, et dans les sciences en général, beaucoup de problèmes peuvent être résolus à l'aide d'équations.

Comment « mettre un problème en équation » ?

Et une fois la ou les équation(s) résolue(s), comment interpréter le résultat pour répondre au problème ?

1. Choix de l'inconnue et mise en équation

La première étape de la mise en équation d'un problème est le choix de l'inconnue. Selon le problème, s'il y a plusieurs choix possibles pour l'inconnue, on choisira celle qui fournit l'équation la plus simple.

Exemple : deux frères ont 12 ans d'écart. L'aîné est 4 fois plus âgé que son cadet.

Quel est l'âge de chacun des deux frères ?

Appelons x l'âge du cadet ; l'âge de l'aîné est donc 4x.

En traduisant le fait que les deux frères ont 12 ans d'écart, on obtient l'équation : 4x – x = 12.

Le choix de l'âge de l'aîné comme inconnue x aurait été moins judicieux, car on aurait obtenu

l'équation : , qui est moins simple que la précédente.

2. Résolution de l'équation et réponse au problème

Reprenons le problème précédent, où nous avons appelé x l'âge du frère cadet, et résolvons l'équation obtenue : 4x – x = 12, qui équivaut successivement à : 3x = 12 d'où x = 4.

L'équation est résolue, il faut maintenant répondre au problème. L'âge du frère cadet est 4 ans, car x = 4. L'aîné est 4 fois plus âgé que son cadet : l'âge de l'aîné est donc 16 ans, car 4 × 4 = 16.

On vérifie que cela répond au problème : 16 – 4 = 12, ce qui correspond bien à l'énoncé de départ, qui pose que les deux frères ont 12 ans d'écart.

3. Autres exemples

3.1. Exemple 1

Énoncé : trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 351.
Mise en équation : soit x le plus petit de ces trois nombres. Les deux autres nombres sont donc x + 1 et x + 2. En écrivant que la somme vaut 351, on obtient l'équation : x + (x +1) + (x + 2) = 351.

Résolution : cette équation équivaut successivement à :

3x + 3 = 351

3x = 351 – 3

3x = 348

x = 116

Réponse : le plus petit de ces trois nombres est 116 ; les deux autres sont donc 117 et 118. On vérifie en effectuant la somme de ces trois entiers : 116 + 117 + 118 = 351.

3.2. Exemple 2

Énoncé : un tapis rectangulaire est trois fois plus long que large et son aire est égale à 2,43 m². Calculer les dimensions en mètres de ce tapis.

Mise en équation : soit x la largeur en mètres de ce tapis. Sa longueur en mètres est donc 3x. En écrivant que son aire (en m²) est égale à 2,43, on obtient l'équation : x × 3x = 2,43.

Résolution : cette équation équivaut successivement à :

3x² = 2,43

x² = 0,81

Les solutions de cette équation sont : et , c'est-à-dire 0,9 et –0,9.

Réponse : dans notre problème, x désigne une longueur ; il s'agit donc d'un nombre positif et par suite, la seule solution acceptable pour ce problème est 0,9. La largeur du rectangle est donc égale à 0,9 m et sa longueur est égale à 2,7 m, car 3 × 0,9 = 2,7. Vérifions en calculant l'aire du rectangle : 0,9 × 2,7 = 2,43.

Cet exemple montre que les solutions de l'équation utilisée pour résoudre un problème ne sont pas toujours des solutions de ce problème.

3.3. Exemple 3

Énoncé : À la terrasse d'un café, un groupe d'amis a consommé 3 cafés et 2 chocolats pour un prix de 5,10 €. À la table voisine, d'autres clients ont consommé 2 cafés et 3 chocolats, et ils ont payé 5,40 €. Calculer le prix d'un café et celui d'un chocolat.

Mise en équation : appelons x le prix d'un café et y celui d'un chocolat, exprimés en €. Le prix

payé à chaque table se traduit par le système suivant : .

Résolution : résolvons ce système par élimination en multipliant la première équation par 3 et

la deuxième par 2. On obtient le système : .

On soustrait les deux équations membre à membre et on garde la deuxième équation de départ. Le système équivaut successivement à :

 ;  ;  ; .

Réponse : le prix d'un café est donc égal à 0,90 € et celui d'un chocolat est égal à 1,20 €.
On peut vérifier en calculant le prix payé à chaque table :

à la première table : 3 × 0,90 + 2 × 1,20 = 2,70 + 2,40 = 5,10, soit 5,10 € payés ;

à la deuxième table : 2 × 0,90 + 3 × 1,20 = 1,80 + 3,60 = 5,4050, soit 5,40 € payés.