Fonctions et calcul algébrique

Une fonction comportant un terme où la variable est au carré ou une fonction quotient de deux fonctions affines peuvent toujours s'écrire sous une forme, dite canonique, permettant de définir l'enchaînement des opérateurs et de déduire les intervalles sur lesquels ces fonctions sont croissantes ou décroissantes.

Chercher un antécédent par l'une de ces fonctions amène à résoudre des équations ou des inéquations comportant l'inconnue au carré ou l'inconnue au dénominateur.

1. À partir de quelle écriture peut-on étudier une fonction comportant l'inconnue au carré ?

Si l'écriture d'une fonction comporte des carrés on la présente sous la forme canonique . Cette forme permet d'écrire la fonction sous forme d'une chaîne d'opérateurs et de déterminer son sens de variation.

Exemple

Si f est un trinôme du second degré défini par : , on a aussi .
On reconnaît alors dans les parenthèses le début d'un développement remarquable :

.

On obtient :

soit:

d'où : .

On vérifie ainsi que la fonction f, définie sur [-5 ; 2], par atteint son minimum -3,5 lorsque le carré est nul, c'est-à-dire pour x = -1,5.

D'où le tableau de variation :

On dresse ensuite un tableau de valeurs pour tracer la courbe :

2. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant des carrés ?

Pour résoudre une équation comportant des carrés, on revient à une écriture de la forme . Deux nombres opposés ont le même carré, donc :

équivaut à ou .

Exemple

Résoudre revient à écrire : x -1 = 3 ou x -1 = -3,

soit x = 4 ou x = -2, d'où S = {-2 ; 4}.

Pour résoudre une inéquation comportant des carrés, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si possible, en un produit de facteurs du premier degré.

On peut alors en déduire l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.

Exemple

Résoudre revient à écrire : .

On reconnaît alors la différence de deux carrés : .

D'où : , ou encore : .

On conclut à l'aide d'un tableau de signes :

Le produit est négatif sur l'intervalle [- 2 ; 4], d'où : S = [- 2 ; 4].

3. À partir de quelle écriture peut-on étudier une fonction quotient de deux fonctions affines ?
Si une fonction se présente comme le quotient de deux fonctions affines, on l'écrit sous la forme

canonique . Cette forme permet d'écrire la fonction sous forme d'une chaîne d'opérateurs et de déterminer son sens de variation.

Exemple

Si f est une fonction définie sur [1,5 ; 6] par , on peut écrire :

 ;

.

Ainsi, la fonction f, définie sur [1,5 ; 6], par est décroissante sur son intervalle

de définition. Car, dans la décomposition , seule la fonction inverse est décroissante et change l'ordre.

À partir d'un tableau de valeurs, on trace la courbe :

4. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant l'inconnue au dénominateur ?

Dans le cas d'une équation, on écrit l'égalité des « produits en croix » pour obtenir une égalité sans dénominateur.

Exemple

Pour , résoudre l'équation équivaut à résoudre :

D'où : , ou encore , soit x = 3.

L'ensemble des solutions est S = {3}.

Dans le cas d'une inéquation, on transpose tous les termes dans un seul membre et on fait apparaître si possible un quotient de facteurs du premier degré. On peut alors déterminer l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.

Exemple

Pour , résoudre l'équation équivaut à résoudre .

En réduisant au même dénominateur, on obtient : , soit .

On conclut à l'aide d'un tableau de signes :

Le quotient est négatif sur l'intervalle ]0 ; 3], donc .

À retenir absolument

Le tableau de variation d'une fonction comportant l'inconnue au carré s'établit à partir de la forme canonique . Si (coefficient du terme au carré) est négatif, alors est un maximum ; il est atteint pour . Si est positif, alors est un minimum ; il est aussi atteint pour .

L'équation a deux solutions ou .

Pour résoudre une inéquation comportant l'inconnue au carré, on transpose tous les termes dans un seul membre. En factorisant l'expression obtenue en un produit de facteurs du premier degré, on peut utiliser un tableau de signes pour connaître l'ensemble des solutions.

Pour résoudre une équation comportant l'inconnue au dénominateur, on écrit l'égalité des « produits en croix ». On retrouve ainsi une écriture sans dénominateur.

Pour résoudre une inéquation où l'inconnue est au dénominateur, on transpose tous les termes dans un seul membre. En faisant apparaître des facteurs du premier degré au numérateur et au dénominateur, on peut utiliser un tableau de signes pour connaître l'ensemble des solutions. On doit veiller à exclure de cet ensemble les valeurs qui annulent le dénominateur.