Équations et inéquations du premier degré

Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On s’intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque l’on cherche à résoudre un système d’équations ou d’inéquations, une équation ou une inéquation produit, ou encore une équation ou une inéquation avec des valeurs absolues.

1. Comment résoudre un système d’inéquations du premier degré à une inconnue ?

Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient ainsi deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la partie commune aux deux intervalles ; si elle existe, c’est la solution du système.

Exemple

On veut résoudre le système : .

Ce système est équivalent à : .

L’ensemble des solutions du système est donc l’intersection de deux intervalles :

. D’où : .

Il peut être utile de dessiner les intervalles pour déterminer l’intersection.

2. Comment résoudre un système d’équations du premier degré à deux inconnues ?

Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.

Si l’une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou -1, il est préférable d’utiliser la méthode par substitution.

Dans l’une des équations, on écrit l’inconnue dont le coefficient est 1 ou -1 en fonction de l’autre, puis on substitue cette écriture à l’inconnue de la seconde équation.

Exemple

Dans le système , on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient le système équivalent : .

On remplace ensuite x par dans la seconde équation, ce qui donne le système :

qui équivaut à , soit encore à .

On obtient ainsi le couple solution : .

Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de -1, pour éviter l’apparition d’écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.

Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l’une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l’on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l’autre équation.

Exemple

Dans le système , on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : .

On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par le résultat ; on obtient le système équivalent :

, soit encore ou .

On en déduit le couple solution : .

Un système peut n’avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.

Soit le système : . Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c’est-à-dire si , ce système a une infinité de solutions ou pas de solution du tout :

• si de plus , alors le système n’a pas de solution ;

• si (les coefficients des deux équations sont proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.

3. Comment résoudre une équation ou une inéquation produit du premier degré ?
Pour résoudre une équation produit, on détermine les valeurs qui annulent chacun des facteurs du produit.

Ainsi, équivaut à ou .

En résolvant chacune de ces deux équations on obtient : .

Pour déterminer l’ensemble des solutions d’une inéquation produit, on s’appuie sur un tableau de signes.

Exemple

Pour résoudre l’inéquation , on étudie le signe de chaque facteur.

La fonction affine est décroissante car son coefficient directeur -1 est négatif. Avant de s’annuler pour x = -3, les images sont positives, après elle sont négatives.

La fonction affine est croissante car son coefficient directeur 2 est positif. Avant de s’annuler pour x = -0,5, les images sont négatives, après elles sont positives.

Le signe du produit est alors donné par la règle des signes pour la multiplication.

Le produit de facteurs est donc négatif sur les intervalles : et .

L’ensemble solution de l’inéquation est la réunion de ces deux intervalles.

Donc .

4. Comment résoudre une équation ou une inéquation comportant des valeurs absolues ?

Pour résoudre une équation comportant des valeurs absolues, on utilise le fait que deux nombres opposés ont la même valeur absolue.

Pour , équivaut à ou .

Par exemple, équivaut à ou .

On en déduit : x = 5 ou x = -1. Soit .

Graphiquement, cela revient à chercher les deux points de la droite graduée placés à 3 unités du point d’abscisse 2.

Pour résoudre une inéquation comportant des valeurs absolues, on distingue deux cas.
— Pour , équivaut à .

Par exemple, équivaut à . Soit .

D’où : .

Graphiquement, on cherche les points de la droite graduée placés à moins de deux unités du point d’abscisse -3.

— Pour , équivaut à ou

Par exemple, équivaut à ou . Soit ou .

D’où: .

Graphiquement, on cherche les points de la droite graduée placés à plus de deux unités du point d’abscisse -3.

À retenir absolument

L’accolade qui précède un système d’inéquations signifie qu’il faut déterminer les valeurs communes des ensembles solutions des deux inéquations. On fait alors l’intersection de ces ensembles (notée avec le symbole ).

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues a un seul couple solution lorsque les coefficients des inconnues ne sont pas proportionnels. S’ils sont proportionnels et que les coefficients des deux équations sont proportionnels, il y a une infinité de couples solutions.

Pour résoudre une équation produit, on cherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs. Dans le cas d’une inéquation, on s’appuie sur un tableau de signes pour déterminer l’intervalle ou la réunion d’intervalles solution.

L’écriture peut s’interpréter comme la distance entre un point M d’abscisse x et un point A d’abscisse a, sur la droite graduée. Cette interprétation permet de résoudre graphiquement des équations et des inéquations comportant des valeurs absolues.