Effectuer une division euclidienne

Une fermière dispose de 125 œufs et veut les emballer par boîtes de 6. Combien lui faut-il de boîtes ? Le quotient et le reste de la division euclidienne de 125 par 6 permettent de trouver le résultat : il faut 21 boîtes. 20 d'entre elles seront pleines et la 21e contiendra seulement 5 œufs.

Comment a-t-on procédé pour effectuer ce calcul ?

1. Définitions

Considérons deux entiers positifs a et b, b étant différent de 0. La division euclidienne de a par b leur associe deux autres entiers notés q et r tels que a = bq + r, avec r < b. Dans la pratique, on dispose la division euclidienne de a par b de la manière suivante :

a s'appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
Si on reprend l'énoncé de l'introduction, la division euclidienne correspondante est posée comme suit :

On a 125 = 6 × 20 + 5, avec 5 < 6. On peut donc remplir 20 boîtes de 6 œufs et il reste 5 œufs qui nécessitent une 21e boîte.

2. Technique de la division euclidienne

Décrivons les étapes de calcul à partir d'un exemple : il s'agit de trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de 78 par 4.

En 7, combien de fois 4 ? 1 fois.

1 × 4 = 4 ; 7 – 4 = 3

On abaisse 8.

En 38 combien de fois 4 ? 9 fois.

9 × 4 = 36 ; 38 – 36 = 2

On n'a plus de chiffres à descendre, on arrête à cette étape le procédé de calcul.

On peut écrire 78 = 4 × 19 + 2. Le dividende est 78, le diviseur 4, le quotient 19 et le reste 2.

Remarque : dans le cas où le diviseur est supérieur ou égal à 10 (il s'écrit donc avec au moins deux chiffres) la technique est la même.

3. Remarques

– Dans une division euclidienne, le reste est inférieur au diviseur.

Ainsi, même s'il est vrai que 78 = 4 × 18 + 6, la figure ci-dessous ne traduit pas la division euclidienne de 78 par 4 (car 6 est supérieur à 4).

– Si le reste d'une division euclidienne est égal à 0, alors le dividende est un multiple du diviseur. Réciproquement, si le dividende est un multiple du diviseur, alors le reste est égal à 0.

– Certaines calculatrices affichent le quotient et le reste des divisions euclidiennes de deux entiers.