Droites et plans dans l'espace

L’étude des objets de l’espace déjà abordée dans les classes antérieures se poursuit en terminale : on apprend à caractériser droites et plans à l’aide de la notion de barycentre ; par ailleurs, l’étude de l’intersection de plans de l’espace permet de donner une interprétation géométrique de la résolution de systèmes linéaires à trois inconnues.

1. Quelles sont les trois manières de caractériser une droite ?

Soit D une droite de l’espace contenant un point A de coordonnées et de vecteur directeur  de coordonnées (a ; b ; c). On peut caractériser cette droite de trois manières.

Caractérisation barycentrique : la droite (AM) est l’ensemble des barycentres des points A et M.

Conséquence : pour démontrer que trois points sont alignés, il suffit de démontrer que l’un d’entre eux est barycentre des deux autres.

Caractérisation vectorielle :

Caractérisation par un système d’équations paramétriques :

2. Quelles sont des trois manières de caractériser un plan ?

Soit P un plan de repère et un vecteur de coordonnées (a ; b ; c) normal au plan P.

On peut caractériser ce plan de trois manières.

Caractérisation barycentrique : le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C.

Conséquence: pour démontrer que quatre points sont coplanaires, il suffit de montrer que l’un d’entre eux est barycentre des trois autres.

Caractérisation vectorielle :

Caractérisation par une équation cartésienne : le plan P admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

3. Quelles sont des deux manières de caractériser un segment ?

On peut également caractériser un segment de deux manières.

Caractérisation barycentrique : le segment [AB] est l’ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de mêmes signes.

Caractérisation vectorielle :

4. Comment étudier la position relative de deux droites de l’espace ?

On étudie la position relative de deux droites de l’espace : la droite D passant par A, de vecteur directeur  et la droite D' passant par A', de vecteur directeur  Il suffit d’étudier leurs vecteurs directeurs.

Si et sont colinéaires, alors les droites D et D' sont parallèles.

Deux cas sont alors possibles :

• si A appartient à D', alors les droites D et D' sont confondues ;

• si A n’appartient pas à D', alors les droites D et D' sont strictement parallèles, leur intersection est vide.

Si et ne sont pas colinéaires alors les droites D et D' sont soit sécantes (leur intersection est un point) soit non coplanaires (leur intersection est vide).

5. Comment étudier la position relative d’une droite et d’un plan ?

On étudie la position relative d’une droite D passant par A, de vecteur directeur  et d’un plan P de vecteur normal  On s’intéresse alors aux vecteurs et

Si et sont orthogonaux, alors la droite D est parallèle au plan P.

Si, en outre, le point A appartient au plan P, alors la droite D est incluse dans le plan P.

Sinon, la droite D est strictement parallèle au plan P et leur intersection est vide.

Si et ne sont pas orthogonaux, alors D et P sont sécants ; leur intersection est un point. Si, par ailleurs, et sont colinéaires, alors la droite D est orthogonale au plan P.

6. Comment étudier les positions relatives de deux plans ?

On considère deux plans P et P' de vecteurs normaux respectifs et

Point de vue géométrique : P et P' sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires. Deux cas sont alors possibles : soit P et P' sont confondus et leur intersection est un plan ; soit P et P' sont strictement parallèles et leur intersection est vide.

Sinon P et P' sont sécants et leur intersection est une droite.

Point de vue algébrique : soit ax + by + cz + d = 0 et a'x + b'y + c'z + d' = 0 les équations cartésiennes respectives des plans P et P'. Pour étudier l’intersection de ces deux plans, on

résout le système :

Soit ce système n’a pas de solutions, soit il en a une infinité.

Ainsi, une droite de l’espace peut être représentée par un système de deux équations linéaires composé des équations cartésiennes de deux plans sécants selon cette droite (on remarque que ce système n’est pas unique).

7. Comment étudier l’intersection de trois plans ?

On considère trois plans P, P' et P'' de vecteurs normaux respectifs  , et

Point de vue géométrique : P, P' et P'' sont parallèles si et seulement si , et sont colinéaires. Deux cas sont alors possibles : soit P, P' et P'' sont confondus et leur intersection est un plan ; soit P, P' et P'' sont strictement parallèles et leur intersection est vide.

Sinon P, P' et P'' sont sécants et leur intersection est soit une droite soit un point.

Point de vue algébrique : soit ax + by + cz + d = 0, a'x + b'y + c'z + d' = 0 et a''x + b''y + c''z + d'' = 0 les équations cartésiennes respectives des plans P, P' et P''. Pour étudier

l’intersection de ces trois plans, on résout le système :

Ce système peut admettre soit aucune solution, soit une unique solution, soit une infinité de solutions.

Le schéma suivant récapitule les différentes situations :

À retenir

La droite (AM) est l’ensemble des barycentres des points A et M.

Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C. Ainsi, pour démontrer que quatre points sont coplanaires, il suffit de montrer que l’un d’entre eux est barycentre des trois autres.

Un système linéaire à trois inconnues peut se résoudre algébriquement par substitution ou par combinaisons linéaires. On peut aussi l’interpréter géométriquement en considérant chaque équation du système comme l’équation cartésienne d’un plan de l’espace. Chercher le nombre de solutions du système se ramène alors à étudier les positions relatives des plans.