Donner l'écriture scientifique d'un nombre décimal

On doit parfois écrire de « grands nombres » ou, au contraire, des nombres « très petits », comme par exemple la distance de la Terre au Soleil, la masse d'un électron, etc.

Quelle écriture peut-on utiliser pour éviter d'écrire des nombres comportant beaucoup de zéros ?

1. Écriture scientifique d'un nombre décimal

1.1. Définition

Une écriture scientifique d'un nombre décimal strictement positif est une écriture de la forme a × 10b où a est l'écriture décimale réduite d'un nombre décimal compris entre 1 inclus et 10 exclus et b est l'écriture décimale réduite d'un entier relatif.

L'écriture scientifique d'un nombre décimal strictement négatif s'obtient en écrivant le signe « moins », suivi de l'écriture scientifique de l'opposé de ce nombre.

Remarques :

–2,48 × 1023 est une écriture scientifique.

0,375 × 107 n'est pas une écriture scientifique, car il n'y a qu'un chiffre à gauche de la virgule, mais c'est 0.

23,124 78 × 10–9 n'est pas une écriture scientifique, car il y a deux chiffres à gauche de la virgule.

3,14 × 100 est l'écriture scientifique de 3,14.

1.2. Exemples

On veut donner l'écriture scientifique des nombres A, B et C suivants :

A = 12 346 789

A = 1,234 678 9 × 10 000 000 = 1,234 678 9 × 107

B = 0,000 001 23

B = 1,23 × 0,000 001 = 1,23 × 10–6

C = (–4,5 × 8) × (10–3 × 105) = –36 × 102

C = –3,6 × 10 × 102 = –3,6 × 103

2. Utiliser l'écriture scientifique pour donner un ordre de grandeur

2.1. Exemple

Dans l'écriture scientifique, l'exposant de 10 indique le nombre de chiffres dont il faut déplacer la virgule :

- vers la droite si l'exposant est positif ;

- vers la gauche si l'exposant est négatif.

Cet exposant permet de donner l'ordre de grandeur du résultat.

Ainsi, l'étoile la plus proche du Soleil, Proxima du Centaure, se trouve à 4,16 × 1013 km. Or 4,16 × 1013 km vaut environ 40 × 1012 km, soit 40 × 1015 m.

On dit que Proxima du Centaure se trouve à environ 40 pétamètres (péta est le préfixe correspondant à 1015).

2.2. Préfixes utilisés

3. Utiliser la calculatrice

3.1. Entrer un nombre en écriture scientifique

Il existe une touche permettant d'entrer un nombre en écriture scientifique : (ou ou ou ).

Cette touche ne doit pas être confondue avec la touche « puissance ».

Exemple 1 : pour saisir 3,5 × 1012, on tape la séquence suivante : 3 , 5   1 2 

Il apparaît sur l'écran : 3,5 12

Attention, le 10 n'apparaît pas sur l'écran !

Exemple 2 : pour saisir 4 × 10–23, on tape la séquence suivante : 4   2 3   

Il apparaît sur l'écran : 4 –23

Exemple 3 : pour saisir 10-14, on tape la séquence suivante : 1   1 4   

Il apparaît sur l'écran : 1 –14

Attention, il ne faut pas oublier de taper le 1 !

3.2. Passer de l'affichage scientifique à l'affichage décimal

La plupart des calculatrices permettent de convertir un affichage décimal en scientifique (ou l'inverse).

Pour obtenir l'affichage scientifique, il suffit souvent de taper sur : .

Exemple : si la calculatrice affiche : 123,48

la frappe de fait apparaître : 1,2348 2 (ce qui signifie 1,234 8 × 102).

Pour obtenir l'affichage décimal, il suffit souvent de taper sur :   (ou   ).

Exemple : si la calculatrice affiche : –3,487 –5

la frappe de   fait apparaître : –0,00003487

Remarque : parfois, on risque de perdre des chiffres (s'il y a trop de zéros) ou bien de rester en écriture scientifique (si l'exposant est trop grand ou trop petit).