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Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers

On appelle division euclidienne, du nom du mathématicien grec Euclide, la division de deux nombres entiers naturels dont le quotient et donc le reste sont aussi des entiers.

Qu'est-ce qu'un diviseur dans le cadre de la division euclidienne ?

1. Diviseur et multiple

1.1. Définitions

Soit a et b deux nombres entiers.

On dit que b est un diviseur de a s'il existe un nombre entier q tel que a = b × q.

On dit aussi que a est un multiple de b, ou que a est divisible par b.

Remarques :

dire que b est un diviseur de a revient à dire que la division euclidienne (donc à quotient entier) de a par b a pour reste 0. Dans ce cas, on peut donc écrire a = b × q, où q est le quotient de a par b ;

certaines calculatrices ont une touche permettant d'effectuer les divisions euclidiennes ; on peut alors lire le quotient et le reste de la division à l'écran.

Exemple : 13 et 7 sont-ils des diviseurs de 221 ?

On effectue les divisions euclidiennes de 221 par 13, puis de 221 par 7 :

221 = 13 × 17, donc 13 est un diviseur de 221.

221 = 31 × 7 + 4, donc 7 n'est pas un diviseur de 221.

1.2. Rappel des critères de divisibilité

Il n'est pas toujours nécessaire de faire une division pour savoir si un nombre entier est divisible par un autre ; rappelons en effet les règles suivantes :

Un entier divisible par 2 est un entier dont le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un entier divisible par 3 est un entier dont la somme des chiffres est divisible par 3.

Un entier divisible par 5 est un entier dont le chiffre des unités est 0 ou 5 ;

Un entier divisible par 9 est un entier dont la somme des chiffres est divisible par 9.

Un entier divisible par 10 est un entier dont le chiffre des unités est 0.

Exemple : d'après ces critères, on peut dire que 975 est divisible par 3 et 5, mais ne l'est ni par 2, ni par 9 ni par 10.

2. Les diviseurs d'un nombre entier

2.1. Quelques règles

Si on considère un nombre entier a différent de 0 et de 1, ce nombre a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

En effet on a toujours a = a × 1.

Le nombre 1 n'a qu'un diviseur : lui-même.

Le nombre 0 admet tous les nombres entiers comme diviseurs.

Les diviseurs d'un nombre entier non nul peuvent être associés : par exemple, on dira que 8 et 9 sont deux diviseurs associés de 72, car 72 est divisible par 8 et par 9, et 72 = 8 × 9.

2.2. Méthode

Expliquons la méthode à l'aide d'un exemple : recherchons tous les diviseurs de 72. La manière de procéder est la suivante : on divise 72 par tous les nombres entiers successifs : 1, 2, 3, etc.

Lorsque le reste est nul, on écrit l'égalité correspondante et les diviseurs associés obtenus.

image

Le processus s'arrête car l'égalité suivante, 72 = 9 × 8, redonne les diviseurs 8 et 9 déjà obtenus.

Les diviseurs de 72 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.

3. Les diviseurs communs à deux nombres entiers

3.1. Exemple

On cherche les diviseurs communs à 72 et 54. Pour cela, on cherche les diviseurs de chacun de ces nombres en utilisant la méthode du paragraphe 3.2, puis on extrait les nombres qui figurent dans les deux listes à la fois :

Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.

Les diviseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27.

Les diviseurs communs à 72 et 54 sont donc : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

3.2. Définition du PGCD

Le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers est appelé en abrégé le PGCD de ces deux entiers.

Exemple : le PGCD de 72 et 54 est 18 (d'après l'exemple du paragraphe 3.1). On note : PGCD (72, 54) = 18.

En reprenant la liste des diviseurs communs à 72 et 54 : 1, 2, 3, 6, 9 et 18, on constate que ce sont tous les diviseurs de 18.

Propriété : les diviseurs communs à deux entiers sont les diviseurs de leur PGCD. Si on connaît le PGCD de deux entiers, il suffit donc de trouver tous ses diviseurs pour avoir les diviseurs communs à ces deux entiers.

 

 

Prof.: Thomas TAMENOU - Thomasta.com -  Contactez-nous