Comparer un angle inscrit dans un cercle à l'angle au centre

Imaginons l'expérience suivante : on place trois points A, M et B sur un cercle de centre O, puis on mesure l'angle  . Ensuite, on fait varier la position du point M, en laissant fixes les points A et B. On a l'impression que la mesure de l'angle  est toujours égale à la moitié de celle de l'angle  . Est-ce le cas ?

1. Définitions

Soit A et B deux points distincts d'un cercle de centre O. L'angle  est appelé angle au centre de ce cercle. On dit que cet angle intercepte l'arc AB.

Remarque : les points A et B ci-dessus définissent deux angles au centre : un angle au centre  saillant qui intercepte l'arc saillant AB, et un angle au centre  rentrant qui intercepte l'arc rentrant AB.

Soit A, B et M trois points distincts d'un cercle. L'angle  est appelé angle inscrit dans ce cercle. On dit que cet angle intercepte l'arc AB.

2. Propriétés

2.1. Angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc

Propriété : un angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Exemple : sur la figure 3, l'angle inscrit  et l'angle au centre  interceptent le même

arc AB ; on en déduit que .

2.2. Angles inscrits interceptant le même arc

Propriété : deux angles inscrits (d'un même cercle) interceptant le même arc ont la même mesure.

Exemple : sur la figure 4, les angles inscrits  et interceptent le même arc AB. On en déduit que .

Démontrons cette dernière propriété : pour cela, nommons O le centre du cercle.

L'angle inscrit  et l'angle au centre  interceptent le même arc AB.

D'après la propriété précédente, on a donc .

De même, l'angle inscrit  et l'angle au centre  interceptent le même arc AB.

D'après la propriété précédente, on a donc .

De ces deux dernières égalités, on déduit le résultat souhaité : .

3. Applications

3.1. Calculer la mesure d'un angle

Énoncé : considérons une étoile régulière à cinq branches. Cette étoile est le pentagone régulier croisé ACEBD représenté sur la figure 5, que l'on construit en plaçant d'abord les sommets d'un pentagone régulier ABCDE. On veut calculer la mesure de l'angle  .

Résolution : on sait que les sommets d'un pentagone régulier sont sur un même cercle ; appelons O le centre de ce cercle.

Considérons l'angle au centre  et l'angle inscrit   : ils interceptent le même arc CD, on en

déduit donc que .

Or l'angle au centre d'un pentagone régulier est égal à .

On a donc et par suite , d'où .

3.2. Démontrer une propriété

Nous allons démontrer une propriété étudiée en quatrième : un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.

Énoncé : soit un cercle de centre O et de diamètre [BC], et A un point du cercle distinct de B et de C. On veut démontrer que le triangle ABC, dont on dit qu'il est inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en A.

Résolution  : considérons l'angle au centre  et l'angle inscrit  : ils interceptent le même

arc BC, on en déduit que .

Or l'angle est plat car [BC] est un diamètre du cercle de centre O, donc .

On en déduit que  : le triangle ABC est donc rectangle en A.