Comparer des nombres en écriture fractionnaire

Pour comparer des nombres écrits sous forme décimale, on commence par comparer les parties entières de ces nombres ; s'il y a égalité des parties entières, on compare les dixièmes ; s'il y a égalité des dixièmes, on compare les centièmes ; etc.

La comparaison de nombres écrits sous forme fractionnaire n'est pas aussi immédiate. Quelles en sont les techniques ?

1. Comparer des fractions de même dénominateur

1.1. Règle

Pour comparer des fractions positives ayant le même dénominateur, il suffit de comparer leurs numérateurs.

Plus précisément : a, b et c étant trois nombres positifs et c étant différent de 0,

si a < b, alors

(et, bien sûr, si a > b, alors ).

1.2. Exemples

On veut comparer et .

On a 3 < 5 donc : .

On veut comparer et .

On a 2,5 > 2,3 donc : .

2. Comparer des fractions de dénominateurs différents

N'est envisagé ici que le cas où un dénominateur est multiple de l'autre (ou un cas s'y ramenant simplement). Le cas général est étudié en 4e.

2.1. En réduisant les fractions au même dénominateur

Pour comparer des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur. Cela signifie qu'on les remplace par des fractions qui ont le même dénominateur. On peut alors appliquer les règles du paragraphe 1.1.

Pour remplacer une fraction par une autre, on utilise la règle suivante :
(b et k étant différents de 0).

Exemple 1 : comparer et .

On remarque que : 8 = 4 × 2, donc : .

On a : (d'après la règle du paragraphe 1.1), donc : .

Exemple 2 : comparer 5 et .

On a : , donc : .

2.2. En calculant des approximations décimales

Pour comparer deux fractions, on peut en chercher des approximations décimales à l'aide de la calculatrice :

si on obtient des valeurs exactes, la comparaison de ces valeurs donne le résultat ;
sinon, il faut utiliser des valeurs arrondies suffisamment précises pour pouvoir conclure.

Exemple 1 : on veut comparer et .

Avec une calculatrice (ou à la main), on trouve que : et .

Puisque 3,125 > 3,08, on en déduit que .

Dans cet exemple, on a utilisé des valeurs exactes.

Exemple 2 : on veut comparer et .

Avec une calculatrice (ou à la main), on trouve que : et (valeurs arrondies au millième).

Puisque 1,676 < 1,684, on déduit que .

Dans cet exemple, on a utilisé des valeurs arrondies au millième ; les valeurs arrondies au

centième n'auraient pas permis de conclure ; en effet : et .