Calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône

On sait déjà calculer le volume d'un prisme droit et celui d'un cylindre de révolution. Ces deux volumes sont donnés par la même formule : .

Le volume d'une pyramide et celui d'un cône seraient-ils également donnés par une formule identique pour les deux solides ?

1. Le volume d'une pyramide

1.1. Formule

Soit une pyramide de hauteur h et dont la base a pour aire B.

Son volume V est donné par la formule : .

Dans cette formule, V, B et h sont exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple : h en cm, B en cm2 et V en cm3.

Remarque : une pyramide a pour volume le tiers du volume du prisme droit construit sur sa base et ayant la même hauteur.

1.2. Exemple

Énoncé : calculons le volume d'une pyramide régulière dont la base est un carré de côté 7 m et dont les arêtes mesurent 8 m.

Résolution :

a) pour pouvoir appliquer la formule , il faut d'abord calculer l'aire B de la base qui est un carré. On a : B = 7² = 49 ;

b) il faut également calculer la hauteur SH de la pyramide.

Pour cela calculons d'abord AH². AH est la moitié de la diagonale d'un carré de côté 7 m. Dans le carré ABCD, AH = BH et est droit. D'après la propriété de Pythagore, AH² + BH² = AB², ce

qui donne : 2AH² = 7² soit .

Le triangle SAH est rectangle en H donc, d'après la propriété de Pythagore, SH² + HA² = SA², ce

qui donne : SH² + 24,5 = 8², SH² = 64 – 24,5 = 39,5. Donc  ;

c) en appliquant la formule on obtient : . Le volume de la pyramide est environ égal à 103 m3.

2. Le volume d'un cône de révolution

2.1. Formule

Soit un cône de révolution de hauteur h et dont la base a pour aire B.

Son volume V est donné par la formule : .

Dans cette formule, V, B et h sont exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple : h en cm, B en cm2 et V en cm3.

Remarques :

un cône de révolution a pour volume le tiers du volume du cylindre de révolution construit sur sa base et ayant la même hauteur ;

si r est le rayon de la base, on a aussi .

Dans cette formule, V, B et h sont exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple : h en cm, B en cm2 et V en cm3.

2.2. Exemples

Énoncé 1 : calculons le volume d'un cône de révolution dont la base est un disque de rayon 4 cm et dont la hauteur est 7 cm.

Résolution : appliquons la formule .

On a . Le volume de ce cône est environ égal à 117 cm3.

Énoncé 2 : on fait tourner autour d'un côté de l'angle droit, une équerre pleine dont les côtés de l'angle droit mesurent respectivement 6 cm et 8 cm. En tournant, l'équerre engendre un cône de révolution. Selon le côté de l'angle droit que l'on choisit, on obtient deux cônes ; quel est celui qui a le plus grand volume ?

Résolution : le premier cône a pour base un disque de rayon 6 cm et a pour hauteur 8 cm.

Son volume en cm3 est : .

Le deuxième a pour base un disque de rayon 8 cm et a pour hauteur 6 cm.

Son volume en cm3 est : .

C'est donc le second qui a le plus grand volume.