Calculer l'aire d'un disque

On peut approcher l'aire d'un disque en le remplaçant par un polygone régulier. Plus le polygone a de côtés, plus l'approximation est précise. Cette méthode était utilisée par les Grecs avant qu'ils n'aient calculé le nombre  . Quelle méthode utilise-t-on aujourd'hui ?

1. Calculer l'aire d'un disque

1.1 Par approximation

On peut démontrer que les polygones représentés ci-dessous ont les aires données par les formules suivantes :

le carré a une aire égale à 2r2 ;

l'hexagone, une aire égale à environ 2,6 r2 ;

l'octogone, une aire égale à environ 2,8 r2 ;

le dodécagone, une aire égale à 3r2.

1.2 Avec la formule exacte

L'aire A d'un disque de rayon r est égale à r2. On rappelle que vaut environ 3,14.
Ainsi A =   × r2 =   × r × r.

Pour appliquer cette formule, A et r doivent être exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple : si r est en cm, A est en cm2.

2. Exemples

2.1 Premier exemple

Calculer l'aire A d'un disque de rayon 10 cm.

 × 10 × 10 = 100     314 donc A = 314 cm².

2.2 Second exemple

Calculer l'aire A d'un disque de 25 m de diamètre.

Le rayon est égal à 12,5 m (la moitié de 25 m).
 × 12,5 × 12,5 = 156,25     491 donc A = 491 m2.