Calculer et utiliser l'échelle d'une carte

Une maison mesure 12 m de long ; elle est représentée sur un plan d'architecte par un rectangle de 48 cm de longueur. Quelle est l'échelle de ce plan ?

Au cours d'une promenade, Pierre voit que la distance qui lui reste à parcourir représente 5 cm

sur sa carte à l'échelle  . Quelle distance réelle cela représente-t-il ?

Quelles sont les méthodes de calcul qui permettent de répondre à ces questions ?

1. Appliquer une échelle

Exemple : Bernard veut faire un plan de sa chambre ; elle est rectangulaire et mesure 5 m de long sur 2,50 m de large.

Il décide de diviser les dimensions réelles par 20 :

5 m = 500 cm et 500 ÷ 20 = 25 ; 2,5 m = 250 cm et 250 ÷ 20 = 12,5.

Il dessine alors un rectangle de 25 cm de long sur 12,5 cm de large.

Ce rectangle est un plan de sa chambre à l'échelle  .

Remarques :

les dimensions du plan sont les dimensions réelles multipliées par l'échelle   ; en effet : et  ;

les dimensions du plan sont proportionnelles aux dimensions réelles ; l'échelle est le coefficient de proportionnalité.

Définition : sur une carte (ou un plan), les dimensions sont égales aux dimensions réelles multipliées par un même nombre e. Ce nombre e s'appelle l'échelle de la carte.

Si D est une distance réelle qui est représentée sur la carte par une distance d, alors

D × e = d (les distances doivent être exprimées dans la même unité).

2. Calculer une échelle

Exemple 1 : quelle est l'échelle e du plan d'architecte mentionné en introduction (12 mètres représentés par 48 centimètres) ?

On a : D = 12 m = 1 200 cm et d = 48 cm.

Alors : 1 200 × e = 48, soit (en simplifiant par 48).

L'échelle du plan est égale à  .

Remarque :  ; on peut aussi dire que l'échelle est égale à 0,04, mais c'est l'usage, quand c'est possible, d'écrire une échelle sous la forme d'une fraction de numérateur 1.

Exemple 2 : sur une carte routière, une route rectiligne de 1 km de long est représentée par 1 cm. Quelle est l'échelle de cette carte ?

On a : D = 1 km = 100 000 cm et d = 1 cm. Appelons e l'échelle de la carte.

Alors : 100 000 × e = 1, soit : .

L'échelle de la carte est égale à  .

Exemple 3 : on photographie avec un microscope une paramécie de 0,2 mm de long. Sur la photographie, la paramécie mesure 10 cm de long. Quelle est l'échelle de cette photographie ?

On a : D = 10 cm = 100 mm et d = 0,2 mm. Appelons e l'échelle de la photographie.

Alors : 0,2 × e = 100, soit e = 100 ÷ 0,2 = 500.

L'échelle de la photographie est égale à 500.

Remarque : dans cet exemple, la photographie est un agrandissement ; c'est pourquoi l'échelle est un nombre supérieur à 1.

3. Utiliser une échelle

3.1 Exemple 1 : calculer une distance réelle

Reprenons le deuxième exemple cité en introduction. Quelle est la distance que Pierre doit

parcourir (distance représentée par 5 cm sur une carte à l'échelle

On applique la formule D × e = d, avec et d = 5 cm.

Alors : , soit D = 5 × 25 000 = 125 000.

On a donc : D = 125 000 cm = 1,25 km.

Pierre doit parcourir 1,25 km.

3.2 Exemple 2 : calculer une distance réduite

Sur la même carte, comment est représenté un chemin de 750 m de long ?

On applique la formule D × e = d, avec et D = 750 m.

Alors : , donc d = 0,03 m = 3 cm.

Sur la carte à l'échelle  , un chemin de 750 m de long est représenté par 3 cm.