Appliquer la propriété de Pythagore

Pythagore était un philosophe et mathématicien grec du vie siècle av. J.-C. La démonstration de la « propriété de Pythagore » serait cependant plus ancienne et daterait du xviie siècle av. J.-C. !

En quoi consiste cette propriété célèbre et à quoi sert-elle ?

1. La propriété de Pythagore

1.1. Énoncés

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Remarque : ici, le mot hypoténuse désigne la longueur de l'hypoténuse et le mot côté, la longueur d'un côté.

On peut énoncer également la propriété de la façon suivante : soit ABC un triangle, s'il est rectangle en A alors BC² = AB² + AC². Cette égalité est appelée égalité de Pythagore dans le triangle ABC.

1.2. Applications

a) Calculer la longueur de l'hypoténuse

Énoncé : FGH est un triangle rectangle en G. L'unité de longueur étant le centimètre, on a GH = 8 et GF = 15.

On veut calculer FH.

Résolution : le triangle FGH est rectangle en G. La propriété de Pythagore permet d'écrire : FH² = GF² + GH².

En remplaçant : FH² = 8² + 15² = 289 = 17². Finalement : FH = 17.

b) Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

Énoncé : RST est un triangle rectangle en R. L'unité de longueur étant le centimètre, on a RS = 5 et ST = 8. Combien mesure le segment [RT] ?

Résolution : le triangle RST est rectangle en R. La propriété de Pythagore permet d'écrire : ST² = RS² + RT².

En remplaçant : 8² = 5² + RT² soit 64 = 25 + RT². On obtient : RT² = 64 – 25 = 39. Donc .

2. La réciproque de la propriété de Pythagore

2.1. Énoncé

Soit ABC un triangle. Si les longueurs de ses côtés vérifient la relation BC² = AB² + AC² alors ce triangle est rectangle en A.

2.2. Applications

a) Démontrer qu'un triangle est rectangle

Énoncé : soit un triangle MNP. L'unité de longueur étant le mètre, MN = 152, NP = 377 et MP = 345.

Ce triangle est-il rectangle ?

Résolution : le côté le plus long est [NP]. Comparons donc NP² et MN² + MP².

NP² = 377² = 142 129 et MN² + MP² = 152² + 345² = 23 104 + 119 025 = 142 129
On a bien NP² = MN² + MP².

D'après la réciproque de la propriété de Pythagore, ce triangle est rectangle en M.

b) Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Énoncé : ABC est un triangle. L'unité de longueur étant le centimètre, AB = 11, BC = 13 et AC = 17.

Ce triangle est-il rectangle ?

Résolution : si on observe la figure 5, ce triangle paraît rectangle mais l'est-il en réalité ?

Le côté le plus long est [AC]. Ce triangle ne peut donc être rectangle qu'en B. (En effet, dans un triangle rectangle le côté le plus long est l'hypoténuse.)

Comparons AC² et AB² + BC².

AC² = 17² = 289 et AB² + BC² = 11² + 13² = 121 + 169 = 290

AC²   AB² + BC²

La propriété de Pythagore (AC² = AB² + BC²) n'est pas vraie, donc le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Comme il ne pouvait pas être rectangle en un autre sommet que B, il n'est pas rectangle.